刚好我以前做过类似的一个数据库设计，给你一个思路
这个明显是需要两张表来进行共同存储（就是把你的第一张表跟第二张结合）
表A存储的为
| userid | lastsign| consigncount |
| 1 | 2015-08-28 | 2 |
这个consigncount存储的是用户连续签到的天数
表B跟你表二的结构一样
这其实是两个需求，一个需求叫连续签到获得积分，另一个需求叫查看签到记录
表A你可以理解为统计表
每次用户签到的时候判断逻辑为

1. 1用户签到 2查询表B判断是否为连续签到（查询昨天的签到记录）

     2.1 true 用户连续签到天数+1,并计算签到积分
     2.2 false
         2.2.1 判断是否补签（不太清楚你补签的需求是怎样，是前天签到的话就查询记录）
            2.2.1.1 true 补签逻辑
            2.2.1.2 false 将用户的连续签到天数重新置为1 3在表二中插入一条今天的签到的数据记录
   

流程结束

sign(user_id,date_month,sign_records)

我也认同楼主采用第一种.
因为查询的条件主要还是落在user_id和date_month上,
然后拿到用户的签到记录sign_records,
再用explode以逗号分割转成数组进行积分计算.

建议date_month使用时间戳存储:
strtotime('2015-08')得1438358400
字段类型刚好可以选择int(10),同时建立索引,加速查询.

因为签到记录sign_records都是整数,可以用intval()保证插入的值是整数.
以逗号分隔存入字段并无不妥,省去了序列化或者JSON的编解码操作,同时还方便使用MySQL的FIND_IN_SET函数以sign_records字段为条件进行查询,这都是逗号分隔的好处:
比如查询在8月1日签到的用户:

SELECT `user_id` FROM `sign` 
WHERE `date_month` = 1438358400 
AND FIND_IN_SET('1', `sign_records`);

个人见解是：
1.数据表的字段“datamonth”改为“dataday”按天来记录签到。
2.具体的分值根据签到天数计算:

a.比如：初始分值设为1，第二天签到的同时更新用户的签到分值，并且判断用户前一天是否签到。如果签到则第二天分值增加比前一天多1分。
b.当增加的分值等于6时，表示用户连续签到了6天，则给当天的分值增加（1+49）[其中的"1"表示每天增加1，49是常数，为了凑要求的分值]分
c.当增加的分值等于15时，表示用户连续签到15天，则给当天的分值增加（1+69）分。
d.其他一次类推。

我不是大神，只是说说我的看法。

1. 使用JSON存储
   MySQL的话建议用JSON, MySQL 5.7原生JSON格式支持.
   用某种符号进行分割建议尽量避免, 日期比较简单. 如果复杂的数据就很容易出错. 能有稳健的数据结构就用数据结构.

2. 使用触发器
   可以使用触发器来处理积分什么的.

第一种，但是增加一个字段，就是连续签到次数，补签应该是出发比较少的行为吧